О причине обратимости  уравнений классической механики

при  инверсии времени

 

 

 

Переход на главную страницу сайта "Статьи И.Г.Львова"  

 

В статье предлагается простое и естественное решение давно уже перезревшей физической проблемы

Отзывы о статье прошу присылать по адресу: iglvov@mail.ru

Буду рад обмену мнениями. Отредактированный вариант статьи размещен на сайте 25 февраля 2013 г.

 

 

Львов И. Г.

 

О причине обратимости  уравнений классической механики

при  инверсии времени

 

 

Базовые уравнения классической механики полностью обратимы, как известно, относительно инверсии времени, и потому не  отражают очевидную необратимость эволюции реальных природных систем. Основная причина такого противоестественного положения состоит на наш взгляд в следующем.

В основном уравнении динамики материальной точки dР/dt = F   импульс Р = mV и сила F  являются векторами, которые по определению не могут отражать необратимость течения времени.   Ведь векторы изначально вводились как особая мнимая  часть кватернионов, а мнимая часть как обычных комплексных чисел, использующихся, например, при расчете цепей переменного (синусоидального) тока в электротехнике, так и их четырехмерного обобщения в виде  собственно кватернионов, описывает только колебательную (в общем случае «вращательную») составляющую совокупного движения! Определяемое же вторым началом термодинамики неизбежное затухание этих колебаний (вращений), с которым и связана искомая необратимость эволюции природных систем, отражается, напротив,  действительной частью тех же комплексных чисел или, соответственно, скалярной частью кватернионов,  попросту отсутствующей в анализируемом базовом уравнении механики. Отсюда и его неизбежная обратимость относительно инверсии времени,  вполне приемлемая, впрочем,  для описания динамики именно материальной точки – последняя представляет собой по сути дела идеализированную механическую систему, по определению лишенную внутреннего движения, с которым и связаны, в конечном счете, необратимые во времени диссипативные процессы.

В отношении же динамики реальной механической системы следовало бы ожидать,  напротив, что в ее основное уравнение главные динамические величины должны входить уже на сей раз в виде полных кватернионов, что позволило бы отразить все происходящие в этой системе механические процессы,  в том числе и необратимые во времени. Но на самом деле основное уравнение механической системы тоже носит пока чисто векторный характер, выступая сегодня  в следующем хорошо известном  виде:  dР/dt = F^(e) ,  где P  - полный векторный импульс анализируемой механической системы, а F^(e)   - векторная  сумма действующих на нее внешних сил.   Таким образом, именно потому, что  главные  динамические величины и в основном уравнении механической системы выражаются сегодня не полными кватернионами, как обязательно должно быть, а только   мнимыми частями таковых (т. е векторами), и имеет место его анормальная обратимость  при инверсии времени.

Для устранения этой анормальности необходимо дополнить названные главные переменные  соответствующими скалярными составляющими, причем путь решения данной задачи вполне очевиден - следует включить в анализируемое уравнение еще и те базовые физические величины, которые относятся именно  к внутреннему движению рассматриваемой механической системы. Особенно просто это сделать в отношении полного кватерниона сил  - его скалярная составляющая должна быть представлена внутренними силами исследуемой механической системы. Сегодня внутренние силы  в основное уравнение  динамики  механической системы не входят, т. к.  не оказывают влияния на движение ее центра масс (т. е. внешнее  движение системы как  целого), как раз и описываемое полным векторным импульсом Р.  Зато они прямо влияют именно на внутреннее движение той же системы, с которым и связаны, как уже было сказано, интересующие нас необратимые диссипативные процессы.  И если  указанное внутреннее движение ввести все же в основное уравнение механической системы (ибо уже сам факт отсутствия  в таковом информации о внутреннем движении прямо говорит о явной неполноте  описываемой данным уравнением общей  картины), то и присутствие в  нем внутренних сил станет в итоге полностью оправданным.

Если рассматривать механическую систему условно в виде пар взаимодействующих между собой различных ее частей, то силы взаимодействия внутри такой пары в соответствии с третьим законом Ньютона  равны по модулю и противоположны по направлению.  Следовательно, для каждой такой пары внутренние силы могут быть выражены просто их модулями и введены в обсуждаемое уравнение как раз в виде скаляров, дополняющих выражаемые векторами внешние силы. В итоге образуется именно тот самый полный кватернион сил, о принципиальной необходимости которого подробно говорилось выше.

Но как же наиболее адекватно описать в таком случае само внутренне движение? Для сохранения целостности обсуждаемого уравнения оно должно описываться, понятно, тоже импульсом, но на этот раз речь  должна идти именно о «внутреннем»  импульсе, характеризующем собственно «количество внутреннего движения» исследуемой системы.  В современной  классической механике такой внутренний импульс в явном виде отсутствует,  но его очень легко ввести, отталкиваясь от следующих элементарных соображений, достаточно наглядно изложенных, например,  в широко известном «Общем курсе физики» профессора Московского физико-технического института Д.В. Сивухина.

«Рассмотрим замкнутую механическую систему, -  пишет он, - состоящую из двух взаимодействующих материальных точек с массами  m₁  и   m₂   [и координатами, задаваемыми радиус-векторами  r₁  и  r₂ соответственно].  Уравнения движения этих точек можно записать в виде:

 

d²r₁/dt²=F₁/m₁,        d²r₂/dt² = F₂/ m₂,                                                                           (1)

 

причем по третьему закону Ньютона F₁ = –F₂.  Вычитая из  одного уравнения другое, находим                                                                                                                                         

 

d²(r₂  – r₁)/dt² = F₂/m₂  –   F₁/m₁ = F₂(1/m₂  +  1/m₁).                                                                                                                         

 

Это уравнение описывает движение одной материальной точки относительно другой, так как разность r = r₂  – r₁  есть радиус-вектор, проведенный от первой точки ко второй. Он однозначно определяет положение второй точки относительно первой. Введем обозначение:

 

1/µ = 1/m₁  +  1/m₂,  или  µ = m₁m₂/(m₁ + m₂).                                                            (2)

 

Тогда предыдущее уравнение перейдет в

 

µd²r/dt² = F₂.                                                                                                                  (3)

 

Это уравнение формально аналогично второму закону Ньютона. Роль силы играет сила F₂, действующая на вторую материальную точку, а роль массы – вспомогательная величина µ, называемая приведенной массой.

Разумеется, одно уравнение (3) не может быть эквивалентно двум исходным уравнениям (1). Однако такая эквивалентность может быть достигнута, если к уравнению (3) присоединить уравнение, выражающее теорему о движении центра масс системы. Последняя в рассматриваемом случае сводится к утверждению, что центр масс системы движется прямолинейно и равномерно. Тем самым задача о движении двух материальных точек распадается на две независимые задачи: 1) определение равномерного движения центра масс; 2) определение относительного движения одной материальной точки относительно другой» [1, С.120,121].

Итак, полученное Сивухиным итоговое уравнение (3) непосредственно определяет именно искомое нами «относительное движение одной материальной точки относительно другой», т. е. описывает по сути дела интересующее нас внутреннее движение любой произвольной пары образующих механическую систему частей. Правда, пока это уравнение опять-таки является векторным, но следующее несложное рассуждение позволяет придать ему уже именно  искомую скалярную форму. Для этого следует учесть, прежде всего, что в рамках поставленной в настоящей статье задачи интерес представляют только диссипативные процессы и выражающие их диссипативные силы, которые обладают рядом существенно упрощающих сам предстоящий анализ свойств. Вот что говорится об этих их важнейших свойствах, например, в том же «Общем курсе физики»   Д.В. Сивухина:

«Все силы, встречающиеся в механике, принято разделять на консервативные и неконсервативные… Все силы, не являющиеся консервативными, называются неконсервативными силами. К ним относятся, прежде всего, так называемые диссипативные силы, например силы трения, возникающие при скольжении какого-либо тела по поверхности другого. Сюда же относятся силы сопротивления, испытываемые телом при движении в жидкой или газообразной среде. Их также иногда называют силами трения… Все эти силы зависят не только от конфигурации тел, но и от их относительных скоростей.  Они направлены всегда против скорости тела (относительно поверхности, по которой оно скользит, или относительно сопротивляющейся среды, в которой оно движется) [1, С.141,145].

Таким образом, главное свойство диссипативных сил, как видим, состоит в том, что они по определению направлены против относительной скорости взаимодействующих на их основе тел. Именно вследствие этого диссипативные силы всегда  вызывают только уменьшение (при принципиальной невозможности возрастания) этой скорости по абсолютной величине, что и является прямым проявлением фундаментальной необратимости всех реальных природных процессов. Так что для того, чтобы основное уравнением механики  отражало необратимость времени, в нем принципиально должна присутствовать, прежде всего, сама относительная скорость, что легко может быть реализовано как раз на базе  уравнения  (3). Для этого просто необходимо учесть, что выражение  d²r/dt²  может быть представлено и как dV_отн/dt, где V_отн -  вектор относительной скорости взаимного движения обсуждаемой пары материальных точек, и преобразовать в итоге уравнение (3)  следующим несложным образом:

 

µdV_отн/dt = F⁽ⁱ⁾,                                                                                                              (4)

 

где F⁽ⁱ⁾ - обобщенное обозначение внутренних сил.

Но и это уравнение, будучи по-прежнему векторным, еще не в полной мере отвечает поставленной задаче, ибо для нее принципиально важно, чтобы в основное уравнение механики входил, в конечном счете, именно модуль относительной скорости, строго однонаправленные изменения которого и отражают необратимый характер механических процессов. Другими словами, необходимо преобразовать далее уравнение (4) в принципиально скалярное выражение, что опять же позволяют осуществить как раз отмеченные выше важные особенности диссипативных сил. В частности, тот прямо вытекающий из описанных выше их свойств факт, что векторы относительной скорости и диссипативной силы всегда лежат на одной прямой (хотя и противоположны друг другу по направлению). И к тому же на той прямой, которая соединяет анализируемые части механической системы, как это непосредственно следует из третьего закона Ньютона. Именно все это и позволяет заменить при изучении  диссипативных процессов все векторные величины в уравнении (4) просто их модулями, придав ему в итоге   следующий  принципиально скалярный вид:  

 

µdV_отн/dt = - F_дис .                                                                                                          (5)

 

Причем F_дис   здесь – это существенно  положительный модуль диссипативной силы, а знак «минус» перед ним непосредственно выражает тот основополагающий для отражения необратимости природы факт, что производная существенно положительного модуля относительной скорости по времени при диссипативных процессах может быть только отрицательной.

К тому же на основе уравнения (5)  становится хорошо видна, наконец, еще одна важнейшая для нашего анализа аналогия, прямо вводящая в инструментарий классической механики уже непосредственно сам скалярный внутренний импульс механической системы. Для этого остается только по аналогии с понятием внешнего векторного импульса Р^(e)   = mV ввести в классическую механику соответствующее понятие внутреннего скалярного  импульса

 

P⁽ⁱ⁾  =   µV_отн,                                                                                                                   (6)

 

что и позволит образовать в итоге сам искомый полный кватернион импульса в целом!

Итак,  теперь легко можно составить искомое основное уравнение механической системы, в котором все главные динамические величины будут представлены, наконец, полными  кватернионами. Такой шаг  придает полному основному уравнению механики всеобъемлющий комплексный характер и делает его к тому же принципиально необратимым при инверсии времени, устраняя тем самым анализируемый здесь врожденный недостаток  классической механики и других основанных на ней  физических теорий.  

На этом можно было бы и закончить настоящую статью, считая основную ее цель в целом достигнутой.  Но полученные выше важные выводы неожиданно позволяют, как это иногда случается, совершенно по-новому взглянуть на еще один чрезвычайно интересный вопрос, о котором хотелось бы теперь кратко упомянуть в заключение. Речь идет о следующей тоже не разрешенной пока до конца очередной принципиальной проблеме классической механики, которую тот же  Д. В. Сивухин так описывает  в неоднократно цитировавшемся уже выше своем «Общем курсе физики»:

«Движения в замкнутой системе, где действуют силы трения, в конце концов прекращаются, так что запас кинетической энергии в системе уменьшается… Формальная макроскопическая механика объясняет эти потери тем, что энергия расходуется на работу против диссипативных сил, действующих в системе. Однако такое объяснение является формальным и нефизическим, поскольку оно совсем не раскрывает природу диссипативных сил… Макроскопическая механика учитывает только кинетическую энергию макроскопического движения тел и их макроскопических частей, а также их потенциальную энергию. Но она полностью отвлекается от внутреннего атомистического строения вещества. При ударе, трении и аналогичных процессах кинетическая энергия видимого движения тел не пропадает. Она только переходит в кинетическую энергию невидимого беспорядочного движения атомов и молекул вещества, а также в потенциальную энергию их взаимодействия. Эта часть энергии получила название внутренней энергии. Беспорядочное движение атомов и молекул воспринимается нашими органами чувств в виде тепла. Таково физическое объяснение кажущейся потери механической энергии при ударе, трении и пр.» [1, С.158,159].

Теперь, однако, мы можем уточнить, что «формальная макроскопическая механика» потому и «не раскрывает природу диссипативных сил», уклоняясь от их «физического объяснения», что не имеет пока прямой возможности сделать это непосредственно на основании своего основного уравнения. А именно - строго математически выразить на его основе сам факт преобразования «при ударе, трении и аналогичных процессах» исходного упорядоченного «видимого движения» в  «невидимое беспорядочное движение атомов и молекул вещества». И основная причина этого – тот очевидный факт, что с «общефизической» точки зрения речь при таком преобразовании должна идти в первую очередь о сохранении в его ходе кинетической энергии, тогда как в основном уравнении механики фигурирует совсем иная описывающая движение физическая характеристика – его количество или собственно импульс. А  также, соответственно, вызывающие изменения именно этой характеристики  силы, представляющие собой по сути дела попросту «поток» тех же импульса или количества движения.

Отсюда действительно формальный пока характер самих механических диссипативных сил, в полной мере сохраняющийся и в сформулированном нами уравнении (5). Знак «минус» перед модулем  этих сил, например, был введен в правой части названного уравнения по существу искусственно, вручную, исходя из чисто эмпирических соображений. А между тем все эти очень серьезные недостатки могут быть очень легко устранены, если только рискнуть предположить нечто весьма и весьма неожиданное для абсолютного большинства современных физиков. Ведь проведенное  в настоящей статье естественное уточнение основного уравнения механики позволяет выразить преобразование упорядоченного макроскопического движения при диссипативных процессах в неупорядоченное  микроскопическое на самом деле предельно просто. Но при этом, подчеркнем, не совсем так, как до сих пор считалось правильным с «общефизической» точки зрения.

 Действительно – стоит только предположить, опираясь на фундаментальные положения самой механики, дополненные выводами настоящей статьи, что в итоге справедлив обобщенный закон сохранения полного (т. е. представленного уже в виде собственно кватерниона) импульса, как вся обсуждаемая сейчас ситуация буквально переворачивается с головы на ноги. Ибо из данного естественного предположения  прямо следует, в частности, что помимо известного закона сохранения в замкнутых системах обычного «внешнего» векторного импульса в них также должен обязательно соблюдаться и закон сохранения описывающего уже именно внутреннее их движение импульса скалярного! А это означает, ни много, ни мало, что в ходе собственно диссипативных процессов вопреки утверждению термодинамики  сохраняется вовсе не кинетическая энергия, а как раз количество внутреннего движения! Что, как уже было сказано, буквально автоматически снимает, в том числе, и все описанные выше трудности  «физического»  представления  процесса диссипации.

Основное уравнение для внутреннего движения замкнутой механической системы при таком подходе будет выглядеть, в конечном счете, очень просто:

 

d/P⁽ⁱ⁾/dt = 0!                                                                                                                    (7)

 

А с учетом формулы (6) и известного правила дифференцирования произведения двух функций из него далее прямо следует

 

dµV_отн/dt  =  µdV_отн/dt  + V_отнdµ/dt = 0.                                                                      (8)

 

И после  переноса второго слагаемого из левой части уравнения (8) направо как раз и получается, наконец, уже сугубо «физическое» по своей сути выражение самого процесса преобразования при диссипации упорядоченного макроскопического движения в неупорядоченное микроскопическое:

 

µdV_отн/dt  = - V_отнdµ/dt!                                                                                                (9)

 

Причем правая часть этого уравнения, если  сопоставлять его с уравнением (5), как раз и представляет собой уже не формальное, а принципиально физическое выражение для собственно диссипативных сил,   естественно раскрывающее, наконец, их  истинную природу.

Из данного выражения, в частности, хорошо видно, что уменьшение модуля относительной скорости взаимодействующих частей в процессе диссипации обязательно должно сопровождаться  пропорциональным возрастанием приведенной массы образованной ими механической системы, что и обеспечивает сохранение в итоге самого скалярного внутреннего импульса в целом. С общефизической же точки зрения это означает, что именно приведенная масса и является той конкретной механической характеристикой, которая непосредственно отражает переход реальных физических систем при протекании в них диссипативных процессов из менее вероятного  состояния в более вероятное, как этого требует второе начало термодинамики. Для понимания реального механизма происходящего возрастания приведенной массы (и собственно вероятности состояния системы) необходимо обращение уже непосредственно к статистической механике, что в рамках настоящей статьи представляется в целом  преждевременным.  Но в заключение хотелось бы все же подчеркнуть, что полученные в ее завершающей части неожиданные выводы во многом могут быть подтверждены очень весомыми дополнительными аргументами уже непосредственно из области термодинамики и молекулярной  физики.

 

Литература

 

1. Сивухин Д. В. Общий курс физики: Учеб. пособие для студентов физических специальностей вузов. Т. I. - Механика. - М.: Наука, 1989.